Graficación de Ecuaciones

Unidad de Apoyo para el Aprendizaje

Iniciar

Introducción


La graficación de ecuaciones es un recurso necesario para comprender con mayor facilidad diversas ideas matemáticas. Su aprendizaje inicia en la secundaria, se continúa en la preparatoria y se utiliza intensivamente en los estudios de licenciatura en las diferentes áreas académicas; por esta razón, es importante conocer el uso de esta herramienta para interpretar diversos conceptos como el de función matemática y manejar correctamente sus diferentes representaciones gráficas.

El método más común de hacer la gráfica de una ecuación es la representación cartesiana en un sistema de ejes coordenados; esta metodología fue desarrollada en el siglo XVI por René Descartes, a quien se considera como el creador de la geometría analítica. Sin embargo, es justo mencionar que en la matemática se han desarrollado otros sistemas de referencia para la representación gráfica de ecuaciones; la conveniencia de cada uno de ellos depende de la naturaleza y tipo de problema que se aborde y de la dimensión espacial en que se confina (en un plano o en el espacio tridimensional).

El tema que estudiarás a continuación se enfoca en el uso del método cartesiano en el plano, ya que es ampliamente utilizado, tiene aplicación directa a la geometría y facilita la transición a otros tipos de sistemas coordenados.

Productos

Ejemplo de curva plana



El estudio de este tema te permitirá:

Analizar una técnica fundamental para la graficación de ecuaciones, mediante el estudio del método cartesiano, con el fin de abordar de mejor forma el concepto de función y contar con elementos para el manejo de las representaciones gráficas de las funciones más comunes.

¿Qué es una ecuación?


Una ecuación es una igualdad entre dos elementos matemáticos, ya sean de tipo aritmético o algebraico; si la ecuación subsiste para todos los valores de las variables algebraicas, en caso de existir en la igualdad, se le denomina identidad. Si se considera esta definición, es posible observar las partes de una ecuación; la primera es el símbolo de igualdad (=), y la segunda, los elementos que deben existir a cada lado del símbolo. A partir de la definición también se observa que puede haber ecuaciones aritméticas y algebraicas, como se ilustra a continuación:

7x8 = 56 Ecuación aritmética (a)
4x = 8 Ecuación algebraica (b)
0x = 0 Identidad algebraica (c)
2x = y Ecuación algebraica (d)

Diferentes tipos de ecuaciones e identidades



Al aplicar la aritmética y el álgebra, se determinan los valores numéricos que satisfacen una ecuación o identidad. En el caso de la ecuación (b), es inmediato comprobar que su única solución es 2 ya que, para otros valores numéricos, la igualdad no se cumple. Por su parte, en la identidad (c) es posible verificar que, sin importar el valor numérico que tome “x”, la igualdad se mantiene.

Otro elemento importante a observar de las ecuaciones (a-d) es que puede haber constantes (por ejemplo “8” en [c]) o variables (como el caso de “x” en [b], o “x” y “y” en [d]).

Las constantes son valores numéricos que permanecen fijos y las variables son elementos algebraicos a los que se pueden asignar diferentes valores. En el caso de las variables conviene mencionar que, por convención, se determina una precedencia entre ellas; por esta razón, a una de ellas se le denomina variable independiente y a la otra variable dependiente, y se indica directamente en el texto que una de ellas depende de la otra. A lo largo del tema, conocerás la utilidad de esta separación.



Soluciones de una ecuación


7x8 = 56 Ecuación aritmética (a)
4x = 8 Ecuación algebraica (b)
0x = 0 Identidad algebraica (c)
2x = y Ecuación algebraica (d)


La solución de una ecuación es el valor o valores numéricos para los cuales la ecuación (igualdad) se cumple. De esta manera, es posible resaltar que en una ecuación puede haber una solución única (ecuación b), varias (ecuación c) o no haber solución. Por ejemplo, en 0x = 1 se observa que no importa el número asignado a la variable “x”, la igualdad nunca se cumplirá.

Es necesario mencionar que, a pesar de haber presentado ejemplos simples para ilustrar este concepto, las afirmaciones hechas aplican para todo tipo de ecuación sin importar la complejidad o número de variables involucradas en ella.



Interpretación de las soluciones de una ecuación


7x8 = 56 Ecuación aritmética (a)
4x = 8 Ecuación algebraica (b)
0x = 0 Identidad algebraica (c)
2x = y Ecuación algebraica (d)


Generalmente, la primera interpretación de la solución de una ecuación se da por el propio valor numérico que satisface la igualdad. Por ejemplo, en (b) la solución es 2 y en (c) puede asociarse con el conjunto de números naturales (ℕ) {1, 2, 3...}. En estos casos, el manejo de una interpretación gráfica no es muy común; sin embargo, se puede realizar a través de su ubicación en la recta numérica:

Recta numérica con la interpretación de ecuaciones (b) y (c)

Interpretación g)ráfica de las soluciones de las ecuaciones (b) y (c).





De esta manera, es interesante observar las posibles soluciones de la ecuación (d); en ella se observa que, si “x” se define como la variable independiente y se toma del conjunto de números naturales {1, 2, 3...}, entonces “y” (y = 2x) estará confinada al conjunto de números naturales pares {2, 4, 6...}. Para interpretar esta situación mediante la técnica previamente ilustrada, se aplica la misma de manera directa y se representa de la siguiente manera:



Esquema tipos de consumidor

Posible interpretación gráfica de los resultados de la ecuación (d) en la recta numérica.

Método cartesiano


En el siglo XVI, René Descartes se dedicaba al estudio de la matemática y la filosofía; sin embargo, consideraba que sus formas de actuar eran oscuras, confusas y faltas de claridad, y lo expresaba de esta manera: “Las fallas más grandes en la ciencia escolástica que imperan en la época son dos: primero, los conceptos que estas ciencias usan para plantear y resolver los problemas son oscuros; segundo, no existe un método universal que se pueda aplicar a la diversidad de los datos científicos”.

Apoyado en las ciencias de su época, Descartes buscó una alternativa a estos problemas, sin éxito. Por ello, se dio a la tarea de crear una matemática universal que no se ocupara de los objetos particulares estudiados por las matemáticas tradicionales como números, figuras, astros y sonidos, sino que estudiara únicamente el orden y la medida.

Gracias a estos esfuerzos, desarrolló en su obra La Geometrie un método que enlaza la geometría con la aritmética y el álgebra y tiene un fundamento en la representación de los números reales (ℝ) a través de la recta numérica, es decir, formaliza la idea de que existe relación entre la aritmética (los números) y la geometría (la recta) y, a través de la extensión de esta idea, generaliza la aplicación de su método al álgebra.



La Geometrie, René Descartes

(s. a.) (1637). Descartes La-Geometrie 1637 [imagen]. Tomada de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Descartes_La-Geometrie_1637.png

En su metodología, Descartes también establece que las figuras geométricas pueden ser representadas por números y ecuaciones algebraicas, y demuestra la conexión entre estas disciplinas a través de un sistema de ejes coordenados constituido por dos rectas numéricas perpendiculares entre sí, donde se puede establecer sistemáticamente la correspondencia planteada.

Ejes coordenados


Después de la descripción anterior se presenta el sistema de ejes coordenados, también conocido como sistema de ejes cartesianos o plano cartesiano.

Revisa la siguiente información para conocer más al respecto. Pulsa las flechas para avanzar y retroceder.


La aritmética y la geometría en los ejes coordenados


En el ejemplo del cuadrado previamente descrito se observa que, para describirlo, se requieren cuatro coordenadas que identifican sus vértices; entonces puede hacerse una generalización del método para las diferentes figuras geométricas, lo cual se muestra a continuación:



Tabla compuesta por un listado de figuras geométricas y el número de coordenadas cartesianas

Tabla de correspondencia entre el número de coordenadas cartesianas (aritmética) y su correspondiente figura (geometría)



Este procedimiento puede entenderse entonces como la parte del método donde se unen la aritmética (los números) y la geometría (las figuras). Sin embargo, conviene hacer una puntualización para realizar la identificación directa de los vértices de las figuras cuyos lados no cortan, como en el caso del cuadrado, perpendicularmente los ejes coordenados (triángulo, pentágono, etcétera), y evitar confusiones respecto a la primera presentación del método. Por ello, se muestra a continuación la metodología que permite ubicar correctamente y de manera general cualquier punto sobre el plano cartesiano.

Localización de un punto en el sistema cartesiano


Para formar las coordenadas de los vértices del cuadrado con que se ilustra la aplicación del método cartesiano, se toman como punto de partida las aristas del cuadrado dibujado en el sistema de ejes; sin embargo cuando se opera a la inversa (primero el trazo de la coordenada), no es necesario tener un cuadrado de apoyo ya que, para ubicar el punto en el plano cartesiano, al identificar la abscisa, (“x”) basta con trazar un segmento de recta paralelo al eje de las ordenadas en el punto correspondiente al valor numérico de “x” (también conocido como abscisa de la coordenada ). Posteriormente, para trazar el componente de las ordenadas (“y”), se traza un segmento de recta paralelo al eje de las abscisas en el punto correspondiente al valor numérico de “y” (también conocido como ordenada de la coordenada). Donde ambas paralelas se intersectan, se encuentra localizado el punto (x,y) que se desea ubicar en el sistema cartesiano. A continuación, y con fines de ilustración, se presenta la localización del punto de coordenada (3,4) en el sistema de ejes cartesianos.

Ejes coordenados, con la ubicación del punto (3,4)

Ubicación del punto (3,4) en los ejes coordenados; las líneas punteadas ilustradas son de apoyo para localizar la coordenada



Trazo de una figura geométrica a partir de sus coordenadas

Para construir bajo el método cartesiano las figuras geométricas descritas en el apartado “La aritmética y la geometría en los ejes coordenados” a partir de sus coordenadas, basta con ubicar primero sus coordenadas correspondientes en los ejes cartesianos y, posteriormente, unir con un único segmento de recta, punto a punto y siguiendo la secuencia ordenada en que se listan, las coordenadas que las forman.



El álgebra y la geometría en los ejes coordenados


Ahora, hay que buscar la manera de obtener la gráfica de una ecuación, lo cual corresponde a la segunda motivación o parte algebraica-geométrica del método propuesto por Descartes.

Al observar las figuras geométricas descritas en el apartado “La aritmética y la geometría en los ejes coordenados” se observa que, por la generalidad enunciada por Descartes para su método, su representación geométrica se realiza a partir de las coordenadas correspondientes a la ecuación.

Para obtenerlas, hay que partir de lo visto en el apartado “Soluciones de una ecuación” y tomar como referencia la ecuación (d). Primero, se toma el primer valor numérico del conjunto de valores de la variable “x” y, a través de él, se obtiene el valor de “y” para formar una primera coordenada (cabe recordar que la palabra coordenada significa “en unión y en orden”; también se puede utilizar el término pareja ordenada de números). A continuación, y de manera similar, se procede con el segundo valor de “x” para obtener el respectivo valor de “y” y formar la segunda coordenada, y así sucesivamente.



Es importante notar que, por convención del método, para la formación de cada coordenada (x,y) y dentro de un par de paréntesis, se escribe primero el valor de “x” y enseguida, separado por una coma, el valor de “y”.


Revisa el siguiente ejemplo:

¿Cuál es la representación geométrica de la ecuación (d) en el plano cartesiano?

y = 2x (d)

Para obtener la respuesta solicitada, se retoma lo expresado en la sección “Soluciones de una ecuación” para observar que, al tomar el conjunto propuesto para los valores de la variable independiente “x” {1, 2, 3, 4...}, éstos determinan unívocamente los valores de “y” (variable dependiente) que satisfacen la ecuación:



a) Para x = 1, entonces y = 2(1) = 2, primera coordenada: C1(1,2)
b) Para x = 2, entonces y = 2(2) = 4, segunda coordenada: C2(2,4)
c) Para x = 3, entonces y = 2(3) = 6, tercera coordenada: C3(3,6)


Por el conjunto de valores de “x” {1, 2, 3, 4...}, las coordenadas de la ecuación (d) son infinitas (los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente”); sin embargo, esto no quiere decir que no se pueda tener una representación de la forma geométrica de esta ecuación (otra ventaja del método cartesiano). Para desarrollar su representación geométrica, se ubican las coordenadas obtenidas en los ejes cartesianos para unirlas entre sí por medio de segmentos de recta, como se indicó en la sección 7.1. De esta forma, el lugar geométrico (o gráfica) buscado para la ecuación (d) se muestra a continuación:

Lugar geométrico o gráfica de la ecuación y = 2x

Lugar geométrico o gráfica de la ecuación (d) a partir de las coordenadas obtenidas: (1,2), (2,4), (3,6), (4,8). Este tipo de representación geométrica se conoce como gráfica de la ecuación de una recta (no como segmento de recta, ya que formalmente se prolonga indefinidamente)


Una puntualización final respecto al método cartesiano es que permite representar cualquier ecuación de dos variables (x,y) y, a través de su metodología, es posible graficar infinidad de lugares geométricos en el plano; algunos ejemplos de esto se presentan a continuación.

Ecuación de una circunferencia de radio igual a 2 y lugar geométrico en el plano cartesiano

Ecuación algebraica de una circunferencia y su correspondiente lugar geométrico en el plano cartesiano



Ecuación de una parábola, algunas coordenadas de la misma y su gráfica en el sistema cartesiano

Ecuación algebraica de una parábola y su correspondiente gráfica en el sistema cartesiano



También cabe señalar que, para realizar con mejor detalle la gráfica de una ecuación, se requiere obtener un mayor número de coordenadas para ubicar con más precisión el lugar geométrico deseado.



Ilustración del detalle que se puede obtener en el trazo de una ecuación (en este caso, la parábola y= x2) en relación con el número de coordenadas graficadas

Ilustración del detalle que se puede obtener en el trazo de una ecuación (en este caso, la parábola y= x2) en relación con el número de coordenadas graficadas



Por último, y a pesar de ser intuitivo, este planteamiento es particularmente útil en los trazos de secciones curvas, y se complementará de forma muy eficiente con el desarrollo de técnicas de aplicación del método cartesiano que verás en la siguiente actividad de aprendizaje, y con los conceptos de máximos, mínimos y puntos de inflexión que podrás revisar en temas posteriores.

Conclusiones


La graficación de ecuaciones es un recurso matemático que ayuda a tener interpretaciones visuales sobre lo que representa algún problema abordado y su consolidación al revisar otros conceptos de análisis. Además, facilita el establecimiento de relaciones que conectan la parte real de un problema con las soluciones matemáticas del mismo. De esta manera es posible determinar, por ejemplo, características de comportamiento en el tiempo (a corto y largo plazo) y en el espacio (local y general); éstos son elementos que por sí mismos justifican la importancia de su uso.

El método cartesiano es una herramienta de primer orden para desarrollar la gráfica (también conocida como lugar geométrico) de una determinada ecuación o figura geométrica, ya que permite describirla unívocamente, de manera eficiente y general, a través de un número reducido de coordenadas, aunque su correspondiente representación algebraica pueda constar de un número infinito de soluciones.



Actividad. Técnicas de apoyo para trazar gráficas en el plano cartesiano

En sí, el método cartesiano establece una forma de relacionar los números con la geometría y, aunque se ha mencionado con frecuencia, vale la pena resaltar una vez más su utilidad: los problemas prácticos se resuelven a través de planteamientos aritméticos y algebraicos; por ende, sus soluciones vienen dadas de inicio por números y variables.

Por ello, no es inmediato regresar el resultado matemático a la realidad práctica del problema, pero con lo planteado por Descartes, se puede lograr a través de la geometría. Aquí es donde el método cartesiano facilita la tarea; en algunos casos, el trazo de un lugar geométrico puede requerir la determinación de un gran número de coordenadas si se realiza la gráfica de manera directa. Sin embargo, si se desarrolla un análisis cualitativo de la ecuación correspondiente, la tarea se puede reducir sustantivamente.

Autoevaluación. Técnicas de apoyo para trazar gráficas en el plano cartesiano

Hasta aquí, has revisado la motivación cartesiana para la creación del sistema de coordenadas, así como los conceptos básicos para su uso. En esta actividad, identificarás las técnicas que facilitan el trazo de gráficas en el sistema cartesiano.

Fuentes de información

Bibliografía

Bibliografía

Ayres, F. (1980). Cálculo diferencial e integral. México: McGraw-Hill.

Phillips, H. (1948). Geometría Analítica. México: Unión Tipográfica Editorial Hispanoamericana.



Documentos electrónicos

De la Torre, A. (2006, mayo). El método cartesiano y la geometría analítica [Versión electrónica]. Matemáticas: Enseñanza Universitaria, 8 (1), 1-13. Consultado el 20 de agosto de 2017 de http://revistaerm.univalle.edu.co/otros/adtorre.pdf

Sitios electrónicos

EcuRed. (s. f.). [Entrada: Geometría analítica]. Consultado el 20 de agosto de 2017 de https://www.ecured.cu/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica

Geometría analítica. (s. f.). Sección: Aportaciones matemáticas. Consultado el 20 de agosto de 2017 de https://sites.google.com/site/geometriaanaliticamonica/tareas/aportaciones-de-matematicos

Wikipedia. (s. f.). [Entrada: Coordenadas polares]. Consultado el 20 de agosto de 2017 de https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares

Cómo citar

Texto correspondiente a esta sección.