Espacio Muestral, Eventos y Axiomas de Probabilidad

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Introducción


La probabilidad es una rama de las matemáticas, cuyo desarrollo tiene origen en el siglo XVII, cuando se buscó contar con métodos racionales para enfrentar los juegos de azar. Se puede decir que hay tres grandes enfoques, escuelas o paradigmas de probabilidad, a saber, el clásico, el empírico y el subjetivo, ninguno de los cuales escapa al tratamiento axiomático, el cual da la estructura al tratamiento matemático moderno de la probabilidad.

A la probabilidad clásica también se le conoce como a priori. Se basa en el hecho de que al momento de realizar un experimento aleatorio se obtendrá un resultado cualquiera, sin poder determinar su naturaleza.

La escuela empírica o frecuencial se fundamenta en el punto de vista de Aristóteles: “lo probable es aquello que ocurre diariamente”.

Por otra parte, la escuela subjetiva sostiene que la probabilidad de que ocurra un suceso se sustenta en la experiencia previa, en el punto de vista de algún observador o mediante la intuición.



Tablero cuadriculado sobre el que se arrojan un trio de dados, cuyas caras son impares.


(s. a) (2016). [Tirar los dados] [fotografía]. Recuperada de https://pixabay.com/es/tirar-los-dados-dados-juego-de-mesa-1502706/

El estudio de este tema te permitirá:

Calcular las probabilidades de eventos sencillos y muestrales, a partir de los axiomas de probabilidad, para la resolución de problemas en los que interviene el azar.

Conceptos estadísticos


Para trabajar la probabilidad sin complicaciones, se considera relevante expresar algunos conceptos básicos.


Experimento. Proceso que da lugar a una medición o a una observación.
Experimento aleatorio. Experimento cuyo resultado es producto de la suerte o del azar. Por ejemplo, el experimento de arrojar un dado.
Evento. Resultado de un experimento.

De estos tres conceptos se desprende un cuarto, el de evento aleatorio, que es el resultado de un experimento aleatorio.


Ejemplo Si el experimento consiste en arrojar un dado, por el solo hecho de que no podemos anticipar qué cara mostrará éste al detenerse, podemos decir que el experimento es aleatorio. Uno de los resultados posibles es que salga un número par. Tal resultado es un evento aleatorio.

Para referirnos a los eventos aleatorios usaremos letras mayúsculas. De este modo, podemos decir que:


A es el evento de que al arrojar un dado salga un número non.
B es el evento de que al arrojar un dado salga un número par.

Así pues, podemos definir varios eventos aleatorios respecto del mismo experimento; algunos de ellos tendrían como característica que encierran, a su vez, varias posibilidades (en el evento A quedan incluidas las posibilidades “que salga uno”, “que salga tres” o “que salga cinco”).

En este contexto, conviene distinguir eventos simples de eventos compuestos.


Son aquéllos que no pueden descomponerse en otros más sencillos. Otra manera de denominar a los eventos simples es la de puntos muestrales. Esta denominación es útil cuando se trata de representar gráficamente los problemas de probabilidad, pues cada evento simple (punto muestral) se representa efectivamente como un punto.

Son los que incluyen varias posibilidades, por lo que pueden descomponerse en eventos sencillos.

A evento de que al arrojar un dado salga un número non.

El evento A, mencionado anteriormente, se puede descomponer en los siguientes eventos:

E1: el evento de que al arrojar un dado salga un uno.
E2: el evento de que al arrojar un dado salga un tres.
E3: el evento de que al arrojar un dado salga un cinco.

A su vez, E1, E2 y E3 son eventos sencillos.


Ante la interrogante, ¿qué eventos consideraremos en un experimento aleatorio dado?, debemos contestar que depende de la perspectiva que tengamos respecto del experimento aleatorio. Si estamos jugando a los dados y las apuestas sólo consideran el obtener un número par o un número impar, entonces los únicos resultados que nos interesen, serán precisamente esos dos: obtener número par o número impar.

Con base en lo anterior, damos lugar a un concepto adicional básico.


Espacio muestral

Conjunto de todos los resultados posibles, en función de nuestra perspectiva del experimento aleatorio. También se le conoce como evento universo.



En suma, ante un experimento aleatorio cualquiera, tenemos varias alternativas para definir eventos cuya probabilidad pueda ser de interés.

Por ejemplo, si tenemos una colectividad de 47 estudiantes egresados, entre contadores, administradores e informáticos, de ambos sexos, y de esa colectividad seleccionamos al azar a una persona, puede ser que nos interesen las probabilidades de los siguientes eventos:


    a) Que la persona seleccionada haya estudiado contaduría.
    b) Que la persona seleccionada haya estudiado administración o contaduría.
    c) Que la persona seleccionada no haya estudiado administración.
    d) Que la persona seleccionada sea mujer y haya estudiado informática.
    e) Que la persona seleccionada sea hombre, pero que no haya estudiado administración.

Como puede verse, en los incisos anteriores no sólo estamos manejando diversos eventos sino que, además, estamos incorporando relaciones entre ellos.

Conjuntos


Tales relaciones se pueden establecer de manera más eficiente recurriendo a la estructura formal de la teoría de conjuntos, esto es, incorporando los diagramas de Venn y Euler. La terminología de conjuntos y sus operaciones —como la unión, la intersección, el complemento, la diferencia, entre otras— son por entero aplicables al caso de los eventos, en el contexto de la teoría de la probabilidad.

Si definimos los eventos A y B como resultado de un experimento aleatorio y recordamos que todos los eventos posibles (el conjunto universal) constituyen el espacio muestral, representado por S, tenemos que la unión de A con B es un evento que contiene todos los puntos muestrales que pertenecen al evento A o que pertenecen al evento B. Podemos hacer uso de la notación de conjuntos para escribir: A U B.

La probabilidad A U B de es la probabilidad de que suceda el evento A o de que suceda el evento B o de que ambos sucedan conjuntamente. Por otra parte, tenemos que la intersección de A y B es la situación en que ambos, A y B, suceden conjuntamente, esto es, en forma simultánea. La intersección se denota en la simbología de conjuntos como A ∩ B.



Diagrama de Venn. En dos círculos parcialmente superpuestos, A y B, el espacio de superposición se da en la intersección entre A ∩ B


Eventos simultáneos.



En la siguiente tabla se muestran cuatro operaciones que serán muy útiles para manejar eventos aleatorios y su equivalencia con operaciones lógicas.


Operación Lógica Operación en conjuntos
o Unión (U)
y Intersección (∩)
no Complemento (‘ )
Diferencia ( -)


Si en nuestro ejemplo de los egresados incorporamos estas operaciones y llamamos C al evento “egresado de contaduría”, A al evento “egresado de administración”, I al evento “egresado de informática”, M al evento “mujer” y H al evento “hombre”, tendríamos que nuestro interés es conocer las siguientes probabilidades:


a) Probabilidad de C
b) Probabilidad de A U C
c) Probabilidad de Ac*
d) Probabilidad de M ∩ I
e) Probabilidad de H – Ac*

* En c y e, “c” significa complemento



Si además adoptamos la convención de usar la letra P para no escribir todo el texto “probabilidad de”, y encerramos entre paréntesis el evento de interés, nuestras preguntas quedarían de la siguiente manera:


a) P(C)
b) P(A U C)
c) P(Ac)
d) P(M ∩ I)
e) P(H - Ac)


Ésta es la forma en que manejaremos relaciones entre eventos y denotaremos probabilidades.

Probabilidad y eventos


Una definición más formal de probabilidad, en el contexto frecuentista, se puede enunciar de la siguiente manera.

Sea A un evento cualquiera; N el número de veces que repetimos un experimento en el que puede ocurrir el evento A; nA el número de veces que efectivamente se presenta el evento A; y P(A) la probabilidad de que se presente el evento A.


Es decir, que la probabilidad de que ocurra el evento A resulta de dividir el número de veces que A, efectivamente, apareció entre el número de veces que se intentó el experimento. La expresión N → ∞, se lee “N tiende a infinito”, y quiere decir que el experimento se intentó muchas veces.

Podemos ver que el menor valor que puede tener P(A) es cero, en el caso de que en todos los experimentos intentados A no apareciera ni una sola vez. El mayor valor que puede tener P(A) es uno, en el caso de que en todos los experimentos intentados el evento en cuestión apareciera todas las veces, pues en ese caso nA sería igual a N y todo número dividido entre sí mismo es igual a 1.

En todos los demás casos, la probabilidad de ocurrencia estará entre estos dos números extremos; por eso podemos decir que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento estará entre cero y uno. Consideremos el siguiente ejemplo.



Investigación de mercado

En una investigación de mercado se encontró que entre los integrantes de un club, el 30 % de los hombres usa loción después de afeitarse; en tanto que el 40 % de ellos utiliza desodorante, y el 10 % utiliza ambos.

Si elegimos al azar a un varón de ese club, ¿qué probabilidades existen de que utilice desodorante o loción después de afeitarse?


Cuando nos preguntan por la probabilidad de que la persona seleccionada al azar utilice desodorante o loción después de afeitarse, sabemos que tal pregunta en lenguaje probabilístico se transforma en:

P(A U B)

Sí hacemos que A represente el evento “el sujeto usa loción para después de afeitarse”, y que B represente el evento “el sujeto usa desodorante”, podemos intentar una representación gráfica empleando diagramas de Venn y Euler como sigue.

Diagrama de Venn. En dos círculos parcialmente superpuestos, A y B, el espacio de superposición se da en la intersección entre A ∩ B, donde se determina la probabilidad de que el sujeto use loción o desodorante.


Eventos de aseo

Intrínsecamente, la pregunta se refiere a aquéllos elementos que se encuentran en A o se encuentran en B, esto es, en el interior del círculo verde o en el interior del círculo azul. De acuerdo con los datos, 30 % de los casos se encuentran en A y 40 % en B, por lo que al sumar tendríamos que, aparentemente, hay 70 % de integrantes del club que se encuentran en la unión de ambos eventos, sólo que de ese 70 % hay un 10 % que es común, precisamente el porcentaje de casos que se encuentra en la intersección.

Este 10 % ya ha sido contado una vez al considerar el porcentaje de casos en A, y fue incluido otra vez al considerar el porcentaje de casos en B; de manera que se ha contado dos veces. Por lo tanto, para determinar el número de casos que están en la unión de A con B, debemos efectivamente considerar el 30 % que está en A, el 40 % que está en B, pero además debemos descontar el 10 % que está en la intersección para que los elementos que están en dicha intersección sean contados sólo una vez.

De esta manera:
P(A U B) = 30 % + 40 % - 10 %
P(A U B) = 60 %

Esto quiere decir que existe un 60 % de probabilidades de que un socio de este club elegido al azar use alguno de los dos productos. Es evidente que la probabilidad que buscamos es un número positivo, ya que, de entre los integrantes del club, si hay varones que usan desodorante también hay varones que usan loción.

Es evidente, además, que la probabilidad que buscamos será menor a uno porque no todos usan loción y no todos usan desodorante.

Axiomas de probabilidad


Las situaciones que hemos discutido dentro de este tema ilustran tres postulados básicos de la probabilidad, a los que se conoce como axiomas de probabilidad, lo que en lenguaje matemático significa que son proposiciones que por su carácter evidente no requieren demostración. Constituyen, por decirlo de alguna manera, “las reglas del juego”, sin importar si estamos trabajando una probabilidad subjetiva o empírica, o si seguimos los postulados de la probabilidad clásica.

Estos axiomas, que constituyen el cimiento de la teoría moderna de probabilidades, fueron propuestos por el matemático ruso Kolmogorov y se expresan de manera formal en los siguientes términos.

1) Para todo evento A, P(A) ≥ 0
2) Si Ω representa el evento universo, entonces P(Ω) = 1
3) Dados dos eventos, A y B, ocurre que P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Claramente, el primer axioma nos indica que no hay probabilidades negativas; el segundo, que ningún evento tiene una probabilidad mayor a uno.

A partir de ellos, se tienen otros resultados importantes, tales como:


a) P(ϕ) = 0, donde ϕ representa el conjunto vacío.
b) P(Ac) = 1 - P(A)


En el segundo de estos resultados estamos haciendo referencia a eventos complementarios. Si Ω es el evento universo, entonces, para todo evento A existe un evento complemento constituido por todos aquellos resultados del espacio muestral que no están en A, con la propiedad de que A U Ac = Ω, por lo que P(A U Ac) = P(Ω), de modo que P(A U Ac) = 1.


En consecuencia, de acuerdo con el

axioma (3),

P(A U Ac) = P(A) + P(Ac) – P(A ∩ Ac),

→ 1 = P(A) + P(Ac) – P(A ∩ Ac)


Sin embargo, P(A ∩ Ac) = P(ϕ) y de acuerdo con el resultado (a), esta probabilidad es cero. Por lo tanto,


1 = P(A) + P(Ac)


De donde, al despejar, queda:


P (Ac) = 1 - P(A)


Dados

Sea el experimento aleatorio que consiste en arrojar dos dados, y sea Ω el espacio muestral que contiene todos los resultados posibles de sumar los puntos obtenidos. Se definen, además, el evento A como el hecho de que el tiro sume menos de cuatro; y B como el hecho de que la suma sea número par. Se desea determinar las probabilidades siguientes:

a) P(Ac)
b) P(B)
c) P(A U B)

Claramente
Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A = {2, 3}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}


Entonces

a) De acuerdo con lo anterior, Ac = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, de donde se sigue que P(Ac) = 9/11. Alternativamente, P(Ac) = 1 - P(A), donde P(A) = 2/11, por lo que P(Ac) = (11-2)/11 = 9/11, lo que confirma el resultado.
b) Es inmediato que P(B) = 6/11
c) Aplicando el axioma 3, se tiene que:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), donde A ∩ B = {2}, por lo que P(A ∩ B} = 1/11
d) Finalmente:
P(A U B) = 2/11 + 6/11 - 1/11 P(A U B) = 7/11

Actividad. ¿Qué tanto sé de probabilidad?

Ahora que conoces los fundamentos de la teoría de la probabilidad y de sus axiomas, y cómo éstos estan sujetos a una multiplicidad de eventos, te invito a que ejercites lo que has aprendido y resuelvas los retos que se te plantean.

Recuerda que puedes revisar en cualquier momento el tema para aclarar tus dudas sobre los axiomas, los conceptos de probabilidad y su cálculo.

Lee el problema planteado y realiza el cálculo correspondiente. Una vez que lo tengas, selecciona la cifra que responda la pregunta.

Autoevaluación. Desafiando mis conceptos

Una vez que ya ejercitaste lo aprendido a través del cálculo de las probabilidades, te invito a que refuerces los conocimientos teóricos.

Recuerda que toda práctica va acompañada de teoría, y que en muchas ocasiones con los conocimientos fundamentales, la práctica se complementa.

Asimismo, ten en cuenta que puedes revisar en cualquier momento el contenido del tema para aclarar tus dudas sobre probabilidad, teoria de conjuntos y axiomas de probabilidad.

Lee con atencion cada una de las descripciones, identifica los conceptos, selecciona el adecuado y arrástralo hacia la descripción que le corresponda.

Fuentes de información

Básicas

Anderson, D., Sweeney, D. y Williams, T. (2005).Estadística para administración y economía (8.ª ed.). México: Thomson.

Berenson, M., Levine, D. y Krehbiel, T. (2001), Estadística para administración (2.ª ed.). México: Prentice Hall.

Camargo, A., García, J., Minjares, M., Rodríguez, A. y Serrano, R. (2010). Espacio muestral y eventos y los axiomas de la Probabilidad. En Estadística I. Licenciatura en Contaduría (pp. 129-165). [CD-ROM]. México: Universidad Nacional Autónoma de México.

Levin, R. y Rubin, D. (2004). Estadística para administración y economía (7.ª ed.). México: Pearson Educación.

Lind D., Marchal, W. y Wathen, S. (2008), Estadística aplicada a los negocios y la economía (13.ª ed.). México: McGraw-Hill.


Cómo citar