Introducción

Aritmética

En el proceso de evolución de esta ciencia es posible decir que se da primero la aritmética, la cual es una rama de las matemáticas que permite contar los objetos y establecer un orden numérico a través de la abstracción de la naturaleza que surge a partir de los números; asimismo, en la aritmética se definen las operaciones elementales que se pueden realizar con los números: suma, resta, multiplicación y división.

La aritmética evolucionó en diversas etapas al pasar por los sistemas numéricos con y sin posición relativa, de base decimal, vigesimal y sexagesimal, la aparición del cero y la mecanización de ciertas operaciones que permitieron hacer algunos cálculos complejos como los de área y volumen.

Álgebra

Desde un punto de vista práctico, la aritmética y la geometría son suficientes para resolver la mayoría de los problemas que dieron origen a la matemática; sin embargo la aritmética en sí misma no puede desarrollar modelos generales de un problema determinado y sólo es posible plantear y resolver con ella casos particulares de estos problemas.

Por ello, surge el álgebra como una rama de las matemáticas que permite modelar y determinar el comportamiento general de las estructuras matemáticas que se pueden plantear por medios aritméticos; a partir del desarrollo del lenguaje algebraico, surgen nuevas operaciones matemáticas: exponenciación, radicación y logaritmos.

Se puede ilustrar esta evolución de manera sencilla en el caso de la exponenciación. Para el cálculo de áreas y volúmenes, se requiere en algunos casos realizar operaciones aritméticas donde un número se multiplica varias veces por sí mismo, por ejemplo, extraer el cuadrado o el cubo de algún número para obtener el resultado. En la aritmética y geometría antiguas, estos conocimientos eran muy apreciados, ya que se utilizaban en el comercio y también se aplicaban para realizar de manera rápida multiplicaciones de números enteros a partir de los cuadrados de otros números, como se muestra a continuación.

Gracias al desarrollo del álgebra (y de esto se observa su generalidad), es posible saber que el algoritmo conocido antiguamente para la multiplicación no era una propiedad exótica de los números, y tiene su soporte en la igualdad:

ab = (a + b)² / 4 – (a – b)² / 4
ab = 1 / 4[(a + b)(a + b) - (a - b)(a - b)]
ab = 1 / 4[(a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²)]
ab = 1 / 4[a² – a² + b² - b² + 2ab + 2ab]
ab = 1 / 4(4ab) = ab

El conocimiento de los exponentes negativos, fraccionarios, logaritmos y muchas otras propiedades y algoritmos se obtuvo gracias al desarrollo del álgebra. Para la geometría también se tenían problemáticas parecidas, y el caso del teorema de Pitágoras puede ser una forma de visualizarlas.

El álgebra surge a partir de la necesidad de generalizar las operaciones aritméticas;
arriba se ilustra el teorema de Pitágoras, su realización aritmética y su álgebra asociada

Cálculo diferencial

Con la aritmética, geometría, álgebra y geometría analítica, las sociedades más avanzadas han logrado resolver la mayoría de sus enigmas matemáticos; sin embargo, existen algunos problemas prácticos que no pueden resolverse completamente con estos recursos. La falta de consistencia y generalidad en las soluciones encontradas hasta entonces para esos problemas obliga a una revisión del cimiento matemático.

Un ejemplo del tipo de problemas mencionados se muestra a continuación.

Si bien la intuición indica que debería ser posible aplicar este tipo de razonamientos en los problemas, la matemática dice algo que no concuerda con esta percepción, o bien se puede pensar que matemáticamente no hay forma de expresar la idea propuesta. Aquí se empieza a observar las inconsistencias de la herramienta matemática, particularmente si todo se limita a los recursos que brindan la aritmética, la geometría y el álgebra.

A lo largo del tema, se han mencionado elementos sobre la intuición humana; sin embargo, se debe remarcar que el sentido común no es el principal sustento de la matemática, la cual es un lenguaje preciso que utiliza símbolos y reglas fijas bien definidas que permiten determinar y establecer de manera deductiva relaciones más complejas entre sus entes abstractos (aritméticos y geométricos) sin romper o torcer esas reglas. Ante este tipo de escenarios, se presentarán los elementos que originarán el surgimiento de una nueva rama de la matemática, denominada cálculo diferencial.

Los antiguos problemas matemáticos (500-300 a. C.) sobre el cálculo de áreas, planteados por Arquímedes de Siracusa, y las paradojas de Zenón y Eudoxo se asocian al surgimiento del cálculo diferencial

Aproximación aritmética y geométrica a la solución de diversos problemas prácticos, relacionados con procesos industriales y productivos. A la izquierda se ilustra el techo de una construcción y, a la derecha, una madeja de hilo