Operaciones con matrices

Las operaciones básicas que se pueden realizar sobre las matrices son las siguientes:

1. Suma y resta de matrices
2. Multiplicación de una matriz por escalar
3. Multiplicación de matrices
4. Producto cartesiano

Para realizar operaciones algebraicas con matrices, es necesario establecer la siguiente convención:

Suma de matrices (A+B):

Esta operación se lleva a cabo al sumar a cada elemento de la matriz “A” cada elemento de la matriz “B” en la misma posición relativa. La suma se coloca en la matriz resultante en la misma posición “mn” de los elementos sumados.

Ejemplos de suma de matrices

La suma de matrices se da para dos matrices “A” y “B” del mismo orden, es decir, es de orden “mxn”.

Resta de matrices (A-B):

La resta de matrices se denota como “A-B”. La sustracción se lleva a cabo al restar a cada elemento de la matriz “A” cada elemento de la matriz “B” en la misma posición relativa. La resta se coloca en la matriz resultante en la misma posición mn de los elementos restados.

Como se observa es muy similar a la suma, con la única diferencia del signo de la operación a realizar sobre los elementos de la matriz.

Ejemplo de resta

La resta de matrices se da para dos matrices “A” y “B” del mismo orden, es decir, es de orden “mxn”.

Multiplicación por escalar:

Imagina que tienes una matriz “A” y un escalar “k”; entonces, la multiplicación de una matriz por un escalar se representa con “kA”. Esta operación se lleva a cabo al multiplicar cada elemento de la matriz “A” por el escalar “k”, y el resultado se pone en la misma posición relativa en la matriz resultante.

Multiplicación por escalar.

Para esta operación no importa el orden “mxn” de la matriz “A”, es decir, el producto por un escalar está definido para matrices de cualquier orden.

Multiplicación de matrices:

Imagina que tienes dos matrices “A” y “B”. Para realizar la multiplicación de estas dos, primero se debe establecer la compatibilidad de la operación al revisar que el número de columnas de la matriz “A” sea igual al número de renglones de la matriz “B”.

Por ejemplo, si se tiene una matriz “A” de orden “nxm”, entonces la matriz “B” deberá tener “n” renglones y cualquier número de columnas, por ejemplo, “k”; entonces la matriz resultante será una matriz de orden “nxk”. En estas condiciones operativas, es fácil observar que el proceso de multiplicación de matrices no es conmutativo.

Multiplicación de matrices.

Ahora verifica el procedimiento para resolver una multiplicación de dos matrices “A” y “B” compatibles:

Swipe left or right

Observa el siguiente ejemplo:

Desarrollar la multiplicación de las matrices “A” y “B” que se indican a continuación:

La multiplicación se realiza de la siguiente manera:

Debido a que la multiplicación de matrices no es conmutativa, al multiplicar matrices se suele decir multiplicación por la derecha o multiplicación por la izquierda; algunas fuentes también utilizan los términos premultiplicación por la izquierda o premultiplicación por la derecha:

•“A” premultiplica a “B” por la izquierda: AxB.
•“A” premultiplica a “B” por la derecha: BxA.

Como se observa, existe un punto de referencia en el procedimiento (en este caso matriz “B”).

El orden de una matriz se refiere a la pareja de números “mxn” que describe el número de renglones y columnas presentes en una matriz o vector y es necesario conocer para determinar la compatibilidad para los procesos de suma, resta y multiplicación de vectores y matrices.

Finalmente, observemos la ejemplificación del producto cartesiano:

El producto cartesiano de dos conjuntos “AxB” es el conjunto de todos los pares ordenados que se forman al tomar un elemento perteneciente al conjunto “A” y un elemento del conjunto “B”.

“A” tiene “m” elementos.
“B” tiene “n” elementos.
Entonces, “AxB” tiene “mxn” elementos.

Los elementos de “AxB” son pares ordenados. Cada par se forma con un elemento del conjunto “A” y otro del conjunto “B” en ese orden y recibe el nombre de par ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis, separados por coma (m,n).

Debido al principio de orden indicado en el desarrollo del producto cartesiano, es importante resaltar que esta operación no es conmutativa, es decir, (x,y) ≠ (y,x).

Ejemplos de producto cartesiano

Es muy importante observar que en general, y como se había indicado, el producto cartesiano no es conmutativo. En algunos casos especiales podrá observarse así, pero generalmente no se conmuta. En el ejemplo mostrado, el producto cartesiano “BxA” de los dos conjuntos citados será el siguiente:

Esto confirma la no conmutatividad de la operación. La definición de producto cartesiano se puede extender a más de dos conjuntos, por ejemplo, en los productos cartesianos indicados.

Introducción

¿Qué es una matriz?

Operaciones con matrices

Bibliografía

Ficha de créditos
Coordinación general	Jorge León Martínez
Coordinación de desarrollo	Edith Tapia Rangel
Coordinación académica	Gabriela Montero Montiel
Elaboración del contenido	Rosa María Guadalupe Barba Varela
Administración del proyecto	Moisés Cenobio Fraire Benítez
Coordinación de asesoría pedagógica	Elisa Campero Malo Susana Claudio Vargas Leónides Villanueva Gutiérrez
Asesoría pedagógica	Ileana Vanessa García Villanueva
Coordinación de corrección de estilo	Brenda Gómez Sánchez
Corrección de estilo	Gabriel Alfonso Baldo Romero
Coordinación de diseño gráfico e integración	Juan de Dios Fuentes Reyes Fabiola Moncada Cortés Isaura Ovando Vázquez
Diseño gráfico e integración	Rosa Armida Cordero Aguayo