Matriz Inversa y Transpuesta

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Introducción

Las matrices son una herramienta muy útil para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real. En los negocios, a menudo es necesario calcular y combinar ciertos costos y cantidades de productos, situaciones que suelen expresarse a través de las tabulaciones o herramientas que permiten representar y relacionar fácilmente diferentes tipos de datos; sin embargo, esta capacidad de visualización no siempre rinde en una mecanización útil para desarrollar métodos de análisis.

Afortunadamente, para estas situaciones, el álgebra aporta ciertos recursos que hacen posible representar y trabajar las diversas estructuras tabulares a través de una metodología matemática más clara, fácil y rápida de operar, la cual se denomina matriz.



Matrices

Matrices

El estudio de este tema te permitirá:

Calcular las matrices inversa y transpuesta, a través del método Gauss-Jordan y la matriz de identidad, para encontrar solución a un sistema de ecuaciones que represente algún evento de cualquier área del conocimiento.

Matriz inversa


Matriz inversa

Matriz inversa


Es importante indicar que, en algunos casos, puede existir la matriz inversa y en otros no; esta situación se relaciona con el tipo y diversidad de soluciones que puede tener un sistema de ecuaciones lineales. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones representados por una matriz cuadrada “A” y con solución única, es posible obtener su matriz inversa.

El procedimiento de cálculo de la inversa de una matriz cuadrada “A” (esta denominación se refiere a que el orden “mxn” de “A” es tal que el número de renglones y número de columnas es el mismo: m = n) se realiza aplicando el método de Gauss-Jordan.

Para el algoritmo de inversión de la matriz, se siguen estos pasos:


1.

1. Se coloca la matriz “A” y se invierte al lado de la matriz de identidad “I” del mismo orden, separadas ambas matrices por los corchetes de cada matriz.

2.

2. Se aplican las operaciones permitidas por el método de Gauss para escalonar la matriz “A” hasta convertirla en la matriz de identidad; estas operaciones se realizan al mismo tiempo y en el mismo orden sobre la matriz de identidad de manera que, al final del procedimiento, se obtiene en el lugar de la matriz de identidad la matriz “A-1”. Esquemáticamente, esto se indica a continuación:

A1 → (operaciones permitidas entre renglones del método de Gauss) → 1A-¹

3.

3. Es importante observar, con base en la no conmutatividad de las operaciones de multiplicación de matrices y del producto cartesiano, la forma en que en el proceso de inversión se logra la transformación de la matriz “A” en la matriz identidad y la matriz identidad en la matriz inversa A-1.

En cuanto a la aplicación, un uso algebraico directo de la matriz inversa puede verse en el caso de una transformación lineal, representada en la ecuación siguiente por su matriz asociada “A”:


Se aplica de la siguiente manera:


Procesos algebraicos de las matrices en las transformaciones lineales

Procesos algebraicos de las matrices en las transformaciones lineales


Los ejemplos anteriores son una pequeña muestra de lo que es posible realizar a través de los procesos algebraicos de las matrices en las transformaciones lineales.

Es conveniente indicar que el uso de la matriz inversa no sólo se circunscribe a esa rama del álgebra; otra aplicación importante se encuentra en la solución de ecuaciones lineales, lo cual se puede plantear algebraicamente de manera rápida al observar la siguiente ecuación:


Igual que en las transformaciones lineales, en este caso también es posible despejar la matriz “A” a través de su matriz inversa para obtener el vector independiente “x”.

Procedimiento de inversión de una matriz cuadrada


Observa el siguiente cuadro para conocer el procedimiento de la mecánica del algoritmo de inversión de una matriz cuadrada “A”:


Cuadro sobre procedimiento de inversión de una matriz cuadrada

Procedimiento de inversión de una matriz cuadrada


Debe resaltarse que dentro del procedimiento indicado para la inversión de matrices existe la posibilidad de que, por lo menos en un renglón o columna de la matriz, todos sus elementos se vuelvan cero; esto significará que la matriz “A” no es inversible. Entonces, el procedimiento en ese punto se detiene y se reporta la no inversibilidad.

Es muy importante recordar que todas las operaciones realizadas sobre la matriz “A” a invertir deben realizarse en la misma secuencia y en el mismo orden sobre la matriz de identidad “I” que fue colocada a su lado. Al final del procedimiento, en el lugar de la matriz identidad se obtendrá la matriz invertida “A-1”.

Observa el ejemplo de este procedimiento:

Obtener la inversa de la siguiente matriz indicada:


Para empezar, se colocan lado a lado la matriz “A” y la matriz de identidad “I” del mismo orden:


El cálculo de inversión consta de los siguientes pasos (ver notación del método de Gauss) y se desarrolla en esa secuencia posteriormente:


Cuadro sobre operaciones algebraicas para la obtención de la matriz inversa para el cálculo de inversión

Operaciones algebraicas para la obtención de la matriz inversa


En el ejemplo anterior se observa que efectivamente, en el lugar de la matriz “A”, ahora queda la matriz “I” y, en el lugar de la matriz “I”, queda ahora la matriz “A-1”.

Matriz transpuesta


La matriz transpuesta está dada por una matriz donde se intercambian los renglones por las columnas, lo cual da como resultado la matriz transpuesta. Entonces, si se considera la matriz “A”:



Su matriz transpuesta es:



A continuación, se muestra un ejemplo:


Ejemplo de matriz transpuesta

Ejemplo de matriz transpuesta


Actividad de aprendizaje. Ejercicios con matrices

Actualmente, en un campo relativamente nuevo en las matemáticas denominado teoría de gráficas, aplicado ampliamente para formular modelos, flujos y relaciones en problemas informáticos, de negocios, ciencias sociales y ciencias físicas, se introduce el concepto de grafo; con este elemento, se establece una estructura matemática que representa una gráfica estudiada simplificada a través de una red de nodos y líneas representada con lo que se denomina matriz de adyacencia.

Estas aplicaciones están fundamentadas en matrices; por ello, se debe conocer los algoritmos que trabajan en ellas para solucionarlas correctamente. Ahora, refuerza tus conocimientos realizando la siguiente actividad.


Autoevaluación. Resolución de matrices

Las matrices se utilizan comúnmente en la informática, específicamente en Internet, donde los motores de búsqueda de información la utilizan para seguir el rastro de las ubicaciones donde ésta se encuentra, tipo de información de acuerdo con el criterio de búsqueda y las palabras clave y determinar la manera en que los sitios web se vinculan entre sí. Por ello es importante conocer su funcionamiento.

Indica si las matrices que se muestran a continuación, son verdaderas o falsas.

Fuentes de información

Básicas

Bibliografía


Kolman, B. y Hill, D. R. (2006). Algebra lineal (8.ª ed.). México: Pearson.

Lay, D. (2004). Algebra Lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.). México: Pearson.

Poole, D. (2004). Algebra lineal: Una introducción moderna. México: Thomson.


Documentos electrónicos


De la Rosa, A., Luna, J., Minjares, M., Rivera, S., Rodríguez, A. y Sánchez, G. (2017). Inversa y traspuesta de una raíz cuadrada. En Matemáticas I (Álgebra Lineal). Licenciatura en Contaduría [CD-ROM]. México: UNAM.



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