Regla de Cramer

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Introducción

La idea de determinante fue considerada desde 1683 por el matemático japonés Seki Takakasu y, de manera independiente, en 1693 por el matemático alemán Gottfried Leibniz, aproximadamente 160 años antes de que se desarrollara una teoría de matrices por separado.

En esencia, la función determinante versa sobre una regla de asignación que tiene su base en la teoría de las permutaciones y es muy aplicada en el estudio de las ecuaciones lineales y sus soluciones, con las cuales podrás encontrar soluciones a problemas de distinta naturaleza.





El estudio de este tema te permitirá:

Calcular el determinante de una matriz cuadrada, a través de la regla de Cramer, para determinar y resolver las interacciones que interrelacionan sistemas de ecuaciones y transformaciones lineales.

Contenido


La teoría de funciones es un extenso campo de las matemáticas donde un par de números (x, y) están relacionados por una regla de asignación; también existen casos donde ahora la variable es una matriz A y la función matemática le asigna a ésta un valor escalar “y”.

Es justamente el caso de la función determinante, la cual es un número que se asigna algorítmicamente a una formación cuadrada de números (matriz), y se denota por medio del siguiente símbolo:

A

Y se lee: “determinante de la matriz ‘A’”.

Existen varios procedimientos algorítmicos para calcular el determinante de una matriz; sin embargo, a continuación se abordan los siguientes:

a) Regla de Sarrus
b) Método de cofactores


Regla de Sarrus


Si “A” es una matriz cuadrada (el número de renglones y columnas es el mismo), su determinante es un valor numérico que se calcula con todos los coeficientes de la matriz.

Caso 1. Determinante de una matriz de orden “2x2”


Determinante de una matriz de orden “2x2”

Determinante de una matriz


El determinante de una matriz tiene que ver con la teoría de permutaciones; se busca relacionar con este enfoque las ubicaciones renglón-columna dentro de la matriz. Esta situación se menciona con el fin de vislumbrar el porqué de las variaciones entre los diferentes métodos de cálculo del determinante de una matriz.


Caso 2. Determinante de una matriz de orden “3x3”

Sea la matriz

Para calcular el determinante de “A”, se realizan los siguientes pasos:


Determinante de una matriz de orden “3x3”

Determinante de una matriz 3x3


Ejemplo

Obtener el determinante de la matriz “A”.



En el ejemplo anterior, sólo se resaltó con el color respectivo el inicio de las diagonales imaginarias.


Propiedades de los determinantes

Las propiedades de la función determinante facilitan la evaluación del determinante de una matriz, ya sea por su evaluación directa o a través de la diagonalización de la matriz; cabe mencionar que este último método es muy conveniente para calcular los determinantes de matrices muy grandes (de orden mayor a “5x5”).

Para las siguientes propiedades, considera que “A” es una matriz cuadrada:


1. Si todos los elementos de un renglón o columna de la matriz “A” son ceros, entonces A = 0 .


2. Cuando dos renglones o columnas de la matriz “A” son idénticos, entonces A = 0 .

3. Cuando la matriz “A” es triangular superior o inferior (si se considera que la diagonal principal de una matriz es la línea imaginaria formada por todos los elementos donde, a partir de la posición amn, se tiene que m = n), todos los elementos debajo de ella son ceros (triangular superior) o arriba de ella son ceros (triangular inferior) (ver unidad 1); entonces el determinante A es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

4. Si A es una matriz de identidad, entonces su determinante es igual a 1.

5. Si “B” es la matriz que se obtiene de “A” al intercambiar dos renglones o columnas, entonces A = - B .

Si la matriz “B” se obtiene de la matriz “A” al multiplicar un renglón o columna por un escalar “k”, entonces B = k A .

7. El determinante del producto (AxB) de matrices cuadradas es el producto de sus determinantes, es decir, A x B = A B .

8. Si “A” es una matriz n X n, entonces AT = A .

9.

10. Si “A” es invertible, entonces


Con base en las propiedades anteriores, observa los siguientes ejemplos:


Ejemplo de propiedades de los determinantes

Ejemplo de propiedades de los determinantes


Como se ha mencionado, existen diversos métodos para la evaluación de un determinante; algunos de ellos, como la regla de Sarrus, son convenientes para matrices cuadradas de orden menor o igual a 3.

Método de cofactores


A continuación se muestra el método de cofactores que puede aplicarse para matrices mayores.

Aunque se considera un método de aplicación general, el algoritmo suele complicarse de manera importante al incrementar el orden de la matriz; por ello, en la práctica el método de diagonalización de gauss se utiliza de manera preferente. Sin embargo, es conveniente mostrar el método de cofactores para proporcionar una visión general sobre las diferentes metodologías existentes en cuanto a la evaluación de los determinantes.


Desarrollo de un determinante por cofactores

Sea una matriz “A”:





Si se considera un elemento “aij” de la matriz “A” y se eliminan de ella el renglón “i” y la columna “j”, se forma una matriz “M” que se conforme por los renglones y columnas no eliminados de “A”; a esta submatriz se denomina el menor ij de “A” y se denota como “Mij”.

Para aclarar el punto, se muestra el siguiente ejemplo:


Desarrollo de un determinante por cofactores

Desarrollo de un determinante por cofactores


Cofactores

A continuación, se proporciona la definición de cofactor de una matriz. El cofactor “ij” de una matriz “A” es el número “Cij” determinado de la siguiente forma:



Donde “Mij” es el menor asociado al elemento “aij” de la matriz “A”.

A continuación, se definirá el método de cálculo del determinante de una matriz “A” a partir de sus cofactores.

El determinante de una matriz cuadrada de orden “nxn” es igual a la suma de los productos de los elementos “aij” de un renglón o columna cualquiera por sus cofactores respectivos, es decir:



Ejemplo de obtención de la determinante de la matriz “A”

Obtención de la determinante de la matriz “A”


Regla de Cramer


La regla de Cramer es un método que permite calcular la solución de un sistema con “n” ecuaciones y “n” incógnitas, siempre y cuando el determinante de la matriz asociada “A” sea diferente a cero.

Esto se resume formalmente a continuación:

Sea un sistema de ecuaciones lineales A x = y.

Si se cumple lo siguiente:

a) “A” es una matriz cuadrada
b) Y


Regla de Cramer, representación general

Representación general de la regla de Cramer


Si las matrices involucradas A y Ai son de un orden máximo “3x3”, sus determinantes se pueden calcular con la regla de Sarrus.

Ejemplo:


Aplicación de la regla de Cramer

Aplicación de la regla de Cramer


Con base en este ejemplo, los valores x = 8, y = 4, z = 3 son la solución del sistema de ecuaciones lineales propuesto.


Regla de Cramer para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Sea el siguiente sistema de ecuaciones de segundo orden:



La matriz de coeficientes es la siguiente:



Se calculan los valores de x, y a través de la regla de Cramer:



Actividad de aprendizaje. ¡A trabajar con Cramer!

Hoy en día, el concepto de determinante tiende a ser referido como resultado de la teoría de matrices y, por ello, es considerado como el proceso de axiomatización de las matrices. El determinante fue descubierto por Cramer durante sus trabajos orientados a la resolución de problemas que se formulaban a través de los sistemas de ecuaciones lineales y fue expuesto por primera vez en 1750. Ahora, pon en práctica los conceptos del siglo XVIII en la siguiente actividad.

Lee los reactivos y selecciona la opción correcta.


Autoevaluación. Yo versus Cramer

La teoría de los determinantes fue expuesta por primera vez en 1750, es decir, 100 años antes de que Sylvester y Cayley empezaran a hablar de las matrices. Esta teoría es muy aplicada en el estudio de las ecuaciones lineales y sus soluciones; por ello, es importante que conozcas su funcionamiento. Refuerza tus conocimientos en la siguiente autoevaluación.

Fuentes de información

Básicas

Bibliografía


Kolman, B. y Hill, D. R. (2006). Algebra lineal (8.ª ed.). México: Pearson.

Lay, D. (2004). Algebra Lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.). México: Pearson.

Poole, D. (2004). Algebra lineal: Una introducción moderna. México: Thomson.


Documentos electrónicos


De la Rosa, A., Luna, J., Minjares, M., Rivera, S., Rodríguez, A. y Sánchez, G. (2017a). Determinantes. En Matemáticas I (Álgebra Lineal). Licenciatura en Contaduría [CD-ROM]. México: UNAM.

De la Rosa, A., Luna, J., Minjares, M., Rivera, S., Rodríguez, A. y Sánchez, G. (2017b). Regla de Cramer. En Matemáticas I (Álgebra Lineal). Licenciatura en Contaduría [CD-ROM]. México: UNAM.



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