Integral

Unidad de Apoyo para el Aprendizaje

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Introducción

En estudios introductorios sobre el cálculo diferencial, se ha repasado sobre los problemas que precedieron su surgimiento; previamente, se indicó una conexión entre problemas tan diferentes como el enunciado por Eudoxo en el cálculo de áreas y el desarrollado por Isaac Newton para describir el movimiento de una partícula. Es momento de mostrar la conexión existente entre ellos en esta rama de las matemáticas bajo la perspectiva del cálculo de la integral de una función.



Área bajo la curva de una gráfica

Integral, concepto que permite determinar el área bajo una curva

El estudio de este tema te permitirá:

Entender el concepto de integral de una función y su relación con la derivación de funciones, mediante el análisis de las funciones inversas y la interpretación geométrica del área bajo una curva; empatar los problemas que dan origen al concepto, a través de sus interpretaciones físicas y geométricas; entender el significado de la constante de integración y el porqué de la integral indefinida para hacer una adecuada interpretación de los resultados de problemas prácticos.

Funciones inversas: Antiderivada


Las funciones son un tipo especial de relación matemática donde, a través de una regla de correspondencia, se asigna a un elemento de un conjunto llamado dominio con otro conjunto denominado contradominio.

Con base en un diagrama, se puede estipular que esto se da de la siguiente manera:


Diagrama que ilustra una función como regla de correspondiencia de un dominio y un contradominio

Ilustración de una función como regla de correspondencia de un conjunto denominado dominio a otro llamado contradominio


Esta relación matemática se da de una forma especial y se dice que se presenta de forma univoca (que acepta una sola interpretación). Por ello, al escoger un elemento del dominio es posible saber sin error su correspondiente imagen en el contradominio; sin embargo, lo contrario también es cierto, es decir, al observar un elemento del contradominio, por la regla de correspondencia, existe un solo “hilo conductor” que lleva sin error en sentido inverso al correspondiente elemento del dominio, lo cual se expresa en el siguiente diagrama:


Diagrama del concepto de función visto en sentido opuesto

Concepto de función visto en sentido opuesto, es decir, a través de una regla de correspondencia en sentido inverso o una función inversa (f -1)


En un principio esta situación puede parecer intrascendente; sin embargo, tal apreciación no es correcta.

Para ello, se muestra un ejemplo sencillo pero con un enfoque práctico: tienes una pieza de madera cuadrada de 25 centímetros cuadrados de área. Te puedes preguntar cómo construir otra igual; al recordar la forma de construir un cuadrado por la regla de correspondencia en sentido inverso, basta cortar un paralelogramo de cinco centímetros de lado para construir dicha figura.

Ésta puede ser una forma simple de ver la conveniencia de contar con una función inversa para ir en uno u otro sentido en una función. De esta forma, la multiplicación y la división representan funciones inversas; la suma y resta, así como la exponenciación y logaritmación, también lo son correspondientemente.

Bajo esta reflexión es posible pensar que al tener la operación de derivar una función, y que por sí misma establece una regla de correspondencia univoca, es posible con tal razonamiento establecer un diagrama como el que se muestra a continuación:


Diagrama de la derivada de una función y su inversa o antiderivada

Derivada de una función (y´) y su función inversa o antiderivada (y´-1)


De esta manera, existe una forma de determinar la derivada de una función y encontrar en sentido inverso, a partir de la función derivada “f(x)”, la función que es su antiderivada y se denomina función primitiva de la derivada “F(x)”.

Integral o antiderivada de una función


Una vez planteado el escenario de las funciones inversas, se define la función antiderivada que, en el cálculo diferencial, se denomina integral de una función, esto es, una operación donde, dada una función “f(x)”, permite determinar su función primitiva “F(x)”. La notación de esta acción se da a continuación:

∫f(x) dx = F(x) (1); donde “F(x)” es la primitiva de “f(x)”


A su vez, dicha operación permite determinar el área bajo la curva asociada al lugar geométrico de “f(x)”; esto se ilustra a continuación:


Representación gráfica del área bajo la curva asociada al lugar geométrico

Integral interpretada como el área bajo la curva, definida por la función “f(x)”, en tanto “dx” son las bases infinitesimales de los rectángulos que la integran (representados por la línea vertical negra)


De esta manera, la lectura de la integración se puede dar de manera alternativa; la función derivada “f(x)” proporciona la altura de cada rectángulo delimitado por la curva, “dx” es la base infinitesimal de cada rectángulo y “∫” representa la suma (o integración) de todas estas áreas infinitesimales, lo cual proporciona como resultado el área total, obtenida a partir de la primitiva “F(x)”.

A través de esta óptica podemos finalmente observar como los problemas sobre el cálculo de áreas de Eudoxo (F(x)) y los de cambio de Isaac Newton (f(x)) se encuentran íntimamente relacionados, una interpretación que no es fácil de entender sin la intervención del Cálculo Diferencial.


Integración


Como ya se mencionó, la primera intención de la integración de una función es encontrar su primitiva; ahora, es necesario encontrar la regla de correspondencia para lograr ese objetivo.

A diferencia de la derivación de funciones, la cual cuenta con el método de los cuatro pasos para determinar la derivada de una función, aquí no existe un método general para obtener la integral de una función. ¿Qué hacer para integrar una función? Considera el siguiente caso:


f(x) = x3;    (3.1)

Sin perder de vista que la tarea es encontrar la primitiva de la función (3.1), como un primer paso se observa la figura que muestra las reglas de derivación de una función, lo cual se ilustra a continuación:

Reglas de derivación

Reglas de derivación


Al comparar la ecuación (3.1) con las reglas mostradas en los diferentes incisos, puedes notar que hay una relación entre la regla “h” y la ecuación (3.1); entonces, para obtener la primitiva no se requiere despejar la regla “h” de manera algebraica, sino realizar en sentido contrario las acciones indicadas en ella. Esto quiere decir que, en este caso, a la función “x3” le debes sumar 1 en el exponente, ya que originalmente se lo restaste. A su vez, debes dividirlo entre el valor de este nuevo exponente para que, al derivar, arroje la función derivada “f(x)”. Al realizar las acciones indicadas, resulta lo siguiente:


1. Potencia de la primitiva: 3 + 1 = 4
2. Coeficiente de la primitiva = 4
3. Primitiva F(x) = x4 / 4    (3.2)

Para comprobar que lo realizado es correcto, ahora derivarás “F(x)” para obtener “f(x)”. Al aplicar la regla “h”:


d F(x) / dx = mxm-1 = 4x4-1 / 4 = 4x3 / 4 = x3    (3.3)

Observa en la ecuación (3.3) que, efectivamente, la función (3.2) es la primitiva de la función (3.1). Además de comprobar la relación entre las ecuaciones (3.1) y (3.2), nota que el procedimiento es algo complejo, ya que debes realizar una redacción del procedimiento inverso antes de aplicarlo correctamente; por ello, existen una gran cantidad de tablas de integración que se obtienen al proponer funciones “tipo” y asociarlas a sus respectivas entradas en las tablas de derivación; de esta forma, es posible obtener las funciones primitivas.

A continuación, se muestra una pequeña tabla de integrales para funciones algebraicas:


a) ∫um dx = um+1 / m + 1 + C        “C” es una constante
b) ∫ dx / x = ln |x| + C                  “C” es una constante
c) ∫ax dx = (ax / ln a) + C               “C” es una constante
d) ∫ex du = ex + C                          “C” es una constante
e) ∫ k dx = kx + C                           “k” y “C” son constantes

Tabla 1. Integrales de funciones algebraicas

Constante de integración


Un elemento a resaltar en la construcción de la tabla 1 es respecto a la constante “C” que aparece en todos los incisos. ¿Para qué indicar un término constante si, al derivarlo, se hará cero (ver propiedad “a” de la figura 5)? La situación tiene que ver con un aspecto práctico: se relaciona con las condiciones iniciales de un problema dado. Por ejemplo, al tener una derivada “f(x)” como la indicada por la ecuación (3.1), se sabe de lo anteriormente realizado que su primitiva es la siguiente:

f(x) = x3;    F(x) = x4 / 4 + C

Al representar “C” a una constante arbitraria, si se considera que un número natural, se tiene lo siguiente:


F(x) = x4 / 4 + 1    dF(x) / dx = x3    (3.1.a)
F(x) = x4 / 4 +2    dF(x) / dx = x3    (3.1.b)
F(x) = x4 / 4 + n    dF(x) / dx = x3    (3.1.n)

¿Qué valor se debe asignar a “C”? Como se mencionó anteriormente, esto se relaciona con lo que se define como condiciones iniciales de un problema, y dependerá del instante en que el problema empieza. Al considerar que “x” representa al tiempo, por ejemplo, se tendría lo siguiente:

F (0) = 04 / 4 + C; entonces, C = F (0)    (3.1.1)

Interpretación geométrica de la constante de integración


Toda ecuación tiene asociado un lugar geométrico; de esta manera, al considerar las primitivas dadas por las ecuaciones (3.1.a-3.1.n), se podrían graficar así:


Representación gráfica de la primitivas de las ecuaciones 3.1.a- 3.1.n

Primitiva de la función (3.1) y diferentes valores de la constante de integración “C”


De esta forma se observa que, debido a la constante de integración, se forma una familia de curvas paralelas (nunca se cruzan entre sí) asociadas a la primitiva F(x) = x4 / 4 + C, desplazadas verticalmente por valor asignado a “C”. Para efectos de ejemplo, se tomaron valores naturales; sin embargo, el valor de esta constante puede ser cualquier número real.


Integral indefinida


Finalmente, como resultado del proceso de integración, se tiene la llamada integral indefinida, la cual es el resultado de obtener la primitiva de una función “f(x)” y puede ajustarse a cualquier condición inicial, es decir, no hay una definición sobre el valor de la constante de integración hasta que se le asignen las condiciones iniciales del problema abordado; esto se resume en las ecuaciones (3.3.1) y (3.3.2):

∫x3 dx = x4 / 4 + C    (3.3.1); integral indefinida de la función f(x) = x3
∫f(x) dx = F(x) + C    (3.3.2); integral indefinida para toda función f(x)

Propiedades de la integración de funciones


Así como en la derivada hay propiedades de linealidad, en la integración de funciones también se presentan, como se muestra a continuación:


a) ∫a f(x) dx = a ∫ f(x) dx; “a” es una constante y “f(x)” es una función
b) ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx; “f(x)” y “g(x)” son funciones
c) ∫ (a f(x) + b g(x)) dx = a∫ f(x) dx +b∫ g(x) dx; “f(x)” y “g(x)” son funciones y “a” y “b” son constantes

Ejemplo 1. Obtener la integral indefinida de la siguiente función:

f (x) = x2 + 1 / x    (e1)


Solución

Al indicar la notación correspondiente:

∫ (x2 + 1 / x) dx    (e1.1)

Al observar (e1.1) y aplicar las propiedades indicadas por    (3.4.b):

∫ x2 dx + ∫(1 / x) dx    (e1.2)

Al aplicar las propiedades (a) y (b) indicadas en la tabla 1:

∫ x2 dx = x2+1 / 3 + C1    (e1.3)
∫(1/x) dx = ln |x| + C2    (e1.4)

Al sumar las ecuaciones (e1.3) y (e1.4):

x3 / 3 + C1 + ln |x| + C2 = x3 / 3 + ln |x| + C1+ C2; con C1 + C2 = C3 = x3 / 3 + ln |x| + C3    (e1.5)


De esta forma, la ecuación (e1.5) es la integral indefinida de la ecuación (e1).

Conclusión


La integración de funciones puede parecer un simple ejercicio matemático sobre el proceso de derivación; sin embargo, su interpretación geométrica proporciona una segunda herramienta que permite el cálculo del área bajo una curva y, con una adecuada lectura, es otro más de los poderosos artilugios que brinda el cálculo diferencial.

El procedimiento de integración de funciones presenta cierta complejidad; para ello, existen diversas tablas que ayudan a integrar una función y también diversos métodos numéricos desarrollados que aplican cuando la función o tipo de datos involucrados no pueden ajustarse a las tablas.

Pero una vez obtenida la integral de una función, a través de ella es posible resolver una gran cantidad de problemas; de esta manera, si se conoce la forma en que cambia la producción de una fábrica, es posible determinar a su vez la cantidad de artículos que se han producido; si se tiene la variación del índice accionario, saber el volumen de intercambio de acciones en la bolsa y de paso, para ambos casos, determinar la cantidad de recursos económicos que intervienen en estos procesos. Estos ejemplos son sólo una muestra de las diversas aplicaciones que tiene la integral de una función.

Actividad de aprendizaje. Integración de funciones

La evaluación del área bajo una curva fue un problema que retó a grandes mentes desde la Grecia Antigua y hasta el descubrimiento del cálculo diferencial por Isaac Newton; en esta actividad, conocerás la forma de determinar el área de un círculo o una fracción de este, algo inimaginable para los matemáticos de esas épocas.

A partir de la imagen que se te presenta, analiza las afirmaciones acerca de la misma y determina si son verdaderas o falsas.


Autoevaluación. Funciones inversas: Integral

En su momento, comprender que la derivación e integración de funciones son funciones inversas requirió muchos esfuerzos matemáticos; sin embargo, bajo la óptica del concepto de función, esta relación puede ser fácilmente entendida. En esta actividad, repasarás algunos conceptos relacionados.

Revisa los siguientes enunciados y elige la opción que complete correctamente cada uno. Al terminar, podrás conocer tu desempeño.

Fuentes de información

Básicas

Bibliografía


Ayres, F. (1980). Cálculo Diferencial e Integral. México: McGraw-Hill.

Luthe, R. (1984). Métodos Numéricos. México: Limusa.


Sitios electrónicos


Desmos. (s. f.). Sección: Calculator. Consultado el 29 de noviembre de 2017 de https://www.desmos.com/calculator

GeoGebra. (s. f.). Sección: Calculadora gráfica. Consultado el 29 de noviembre de 2017 de https://www.geogebra.org/graphing

Wikipedia. (s. f.). [Entrada: Integración de Riemman]. Consultado el 29 de noviembre de 2017 de https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_de_Riemann

Wikipedia. (s. f.). [Entrada: Teorema fundamental del cálculo]. Consultado el 29 de noviembre de 2017 de https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo


Complementarias

Bibliografía

Arya, J. (1989). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. México: Prentice Hall.


Cómo citar