Límites

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Introducción


El surgimiento del cálculo diferencial como disciplina propia, separada del álgebra y la aritmética, tiene una referencia histórica amplia a partir del planteamiento de problemas donde aparecen variables que toman valores extremadamente pequeños y se tornaron en paradojas por la falta de elementos matemáticos que permitieran abordarlos y expresarlos correctamente.

De esta forma es posible observar que Eudoxo e Isaac Newton, dos grandes mentes que trabajaron alrededor de esta disciplina, establecen una conexión conceptual al abordar problemas diferentes; en este tema se identifican los momentos en que Newton, creador del cálculo, en sus trabajos sobre el movimiento, empieza a dilucidar y definir las ideas de función y límite, las cuales son las semillas que dan concepción a esta nueva disciplina matemática. Dentro del tema se retomará sólo una parte de esos textos para dar un preámbulo apropiado a este capítulo y, posteriormente, abordar de manera directa el concepto de límite.

En el trabajo Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum (1671), se puede ubicar claramente el uso matemático de las variaciones infinitesimales que Newton enuncia de esta forma: “Por última proporción de cantidades evanescentes debemos entender el cociente de estas cantidades, no antes de que desvanezcan, ni después, pero tal como van desvaneciendo. La parte infinitesimal pequeña en la que un fluente se incrementa por unidad de tiempo cero es el momento del fluente”. Éstas son ideas complejas de analizar que matemáticamente, hasta antes de Newton, se habían resistido al escrutinio de la mente del hombre.



Productos

1.(s. a.) (s. f.). Isaac Newton, Escuela de Inglés, 1715-20 [pintura]. Tomada de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Isaac_Newton,_English_School,_1715-20.jpg
2. Concepto de límite, sobre lo que crece o decrece indefinidamente



El estudio de este tema te permitirá:

Analizar el concepto de límite y las técnicas para su evaluación al consolidar este aprendizaje a través del desarrollo de problemas para el estudio de situaciones donde la cardinalidad de las variables asociadas a un problema crece o decrece indefinidamente.

Definición del concepto de límite



Sea f(x) una función que está definida (existe) en todos los valores cercanos a un valor “a”, con la excepción de este mismo. Se dice que “L” es el límite de la función “f(x)” cuando la variable “x” tiende al valor “a”, si la diferencia entre “f(x)” y “L” puede hacerse tan pequeña como se desee con sólo restringir los valores que toma “x” a estar lo suficientemente cerca del valor “a”.



La forma de expresar matemáticamente este concepto es la siguiente:



Recta numérica con la interpretación de ecuaciones (b) y (c)

Interpretación g)ráfica de las soluciones de las ecuaciones (b) y (c).





Es importante notar que la definición de límite señala que, para determinar el valor “L” del límite de una función “f(x)”, se debe operar sobre la expresión matemática estudiada como si el valor de la variable “x” para el valor “a” investigado no existiera; para hacerlo se puede realizar el mayor acercamiento posible, sin tomar el valor preciso “a”.



Se resalta esta situación debido a que comúnmente, al evaluar un límite, se dice que se debe sustituir directamente el valor de “a” en la ecuación estudiada; sin embargo, esto es un error y hacerlo así puede llevar a obtener resultados incongruentes con el planteamiento del problema.

Por último, el concepto de límite toma verdadero sentido para expresiones que se relacionan con su definición; sin embargo su generalidad también permite aplicarlo a ecuaciones que se puedan ajustar a la metodología indicada en secciones posteriores que se revisarán en este tema.



Métodos para evaluar un límite


¿Cómo evaluar el límite de una función si no es posible hacerlo directamente?

Existe un primer método matemático que resuelve de manera exacta esta tarea de acuerdo con el concepto, y es conocido como método delta-épsilon. Sin embargo, el desarrollo algebraico del mismo se puede complicar según la complejidad de la expresión matemática en que se aplique.

Una segunda opción para determinar un límite estriba en hacer una aproximación al valor de “L” a través de un proceso de tabulación para acercarse de forma práctica al valor “a” tanto como se pueda; dicha aproximación se realiza mediante un acercamiento por la derecha y la izquierda del valor referido.

Una tercera opción consiste en buscar una equivalencia o simplificación algebraica de la ecuación analizada y hacer, a través de ella, una evaluación directa del límite, siempre y cuando se haya eliminado la indeterminación que pudiera existir en la expresión original.

Pulsa cada encabezado y revisa la información para conocer más al respecto.

Determinación del límite de una función por tabulación

Este método es el más sencillo de aplicar si se cuenta con un recurso de cálculo apropiado (computadora, calculadora, etcétera); la determinación del límite buscado es aproximada, pero a través de ella es posible inducir el valor final “L” buscado. Como indica la definición del concepto, solamente es necesario acercarse al valor “a” tanto como se desee afinar la precisión del límite expresado. Un ejemplo de la aplicación de este método se presenta a continuación.

Ejemplo 1. Determinar el límite cuando x = 1.


Recta numérica con la interpretación de ecuaciones (b) y (c)

Recta numérica con la interpretación de ecuaciones (b) y (c)

Tabulación

De la tabulación anterior mostrada se observa que, cuando “x” tiende al valor “1” tanto por la derecha como por la izquierda del mismo (valores mayores y menores que el investigado), la función se aproxima al valor “2”; como puedes ver no se evalúa el punto de interés, sino solamente su entorno numérico.

Determinación del límite de una función por simplificación algebraica

Este método genera un resultado exacto siempre que el manejo algebraico elimine la indeterminación que pueda presentar la expresión original que se analiza; en ocasiones, su uso puede complicarse debido a la naturaleza de la función con que se trabaje. A continuación, se presenta un ejemplo de este método.

Ejemplo 2. Con base en la ecuación del ejemplo 1, determinar el límite por método algebraico.





Como se observa del procedimiento, se eliminó la indeterminación para el valor “x = 1”; esto permite hacer la valuación del límite con la expresión simplificada; se observa que la estimación realizada por el método anterior coincide con el resultado obtenido por este método.

La gráfica de la ecuación equivalente se muestra a continuación; sin embargo, como puedes ver en la tabulación del ejemplo 1, la función para el valor investigado (x = 1) no está definida.






Propiedades de los límites


El concepto de límite viene a resolver una serie de problemas sobre inconsistencias en los resultados de las expresiones matemáticas que se plantean en diversos análisis que involucran características sobre cardinalidades que decrecen indefinidamente, o también en sentido inverso, ya que el álgebra no proporciona elementos que puedan lidiar con ellas.

Sin embargo una vez que esta situación se ha resuelto por el concepto, es posible enunciar propiedades algebraicas para los límites con base en el concepto de función, las cuales permiten simplificar el cálculo de límites de expresiones matemáticas más complejas. A continuación, se enlistan dichas propiedades.

Propiedades de los límites

Cuadro 1. Propiedades de los límites; para su aplicación, se debe considerar que “f(x)” y “g(x)” son funciones con límites conocidos “L” y “M”, correspondientemente, para la condición “a” propuesta



Con base en las propiedades de los límites enunciados en el cuadro 1, se aplicará en la siguiente ecuación para mostrar la manera de simplificar su evaluación por medio de estas propiedades.

Ejemplo 3. Determine el límite de la siguiente ecuación cuando x→ a:





Al observar el cuadro 1, es posible deducir que este ejemplo se resuelve mediante las propiedades 1, 2 y 6. De esta manera, se tiene lo siguiente:





Como se observa, el uso de las propiedades indicadas permite realizar de manera más sencilla la evaluación del límite de una función compuesta por más de un elemento.

Límites al infinito


Los problemas que dan origen al cálculo tienen que ver con situaciones donde se presenta que los valores de las variables decrecen indefinidamente, como en el caso de las cantidades evanescente de Newton. Sin embargo, también puede pasar lo contrario, como en el método planteado por Eudoxo donde, a través de su aproximación poligonal al círculo, el número de lados aumenta indefinidamente; en estos casos se observa que, al dejar aislada al álgebra en su actuar, ésta llegará a resultados paradójicos.

En las secciones previas se presentaron diversos conceptos que se pueden resolver mediante los planteamientos newtonianos; ahora corresponde completar estos recursos a través de conceptos que pueden resolver planteamientos del método exhaustivo.

Saber que una cantidad crece de manera incesante puede no causar problemas de razonamiento lógico; a veces basta con mirar al cielo basta. Sin embargo, cuando esta situación se da en relaciones matemáticas, su discernimiento algebraico no es inmediato. Por esta razón se procede a encuadrar, a manera de propiedades y dentro del concepto de límite, la valoración de algunas relaciones que aparecen en el planteamiento de problemas matemáticos.

Propiedades de los límites al infinito

Cálculo del límite cuando el recíproco de una variable tiende a infinito

Estos casos se observan directamente en ecuaciones como la de una hipérbola, pero también de manera análoga asociada a una expresión exponencial (entre muchas otras); sin embargo es importante recordar que ambas funciones se relacionan con casos prácticos de las ciencias sociales, exactas y administrativas.

Entonces, se procede a enunciar el comportamiento de este tipo de expresiones matemáticas cuando la variable “x” crece indefinidamente; esto se resume en la siguiente ecuación:

Ejemplo 4






La simplificación se apoya en una de las propiedades algebraicas de las potencias, conocida comúnmente como ley del sándwich:





Cálculo del cociente de dos polinomios Existen situaciones donde se presenta un conjunto de datos experimentales o estadísticos (entre otros casos) que pueden ser aproximados apropiadamente a través de polinomios y, al mismo tiempo, se busca obtener el comportamiento de una razón de este tipo de datos para valores que tienden a infinito. Surge entonces la siguiente cuestión: ¿cómo precisar el comportamiento de esas relaciones matemáticas? Esta segunda propiedad se resume a continuación:

Sea un par de polinomios “g(x)” y “h(x)”, de grados “m” y “n” respectivamente, expresados genéricamente por las siguientes expresiones:

g(x) = amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0
h(x) = cnxn + cn-1xn-1 + … + c1x + c0

Entonces el límite del cociente de los polinomios “g(x)” y “h(x)”, clasificados a partir de sus respectivos grados “m” y “n”, se puede resumir en los siguientes casos:

Caso 1

Caso 2

Caso 3



Los tres casos se muestran a continuación:



Ejemplo 5.

Ejemplo 6.

Ejemplo 7.

Continuidad


Después de revisar el concepto de límite y sus propiedades, ahora se presenta una primera aplicación para determinar el comportamiento de una curva que, como indica el concepto, “sea una función ‘f(x)’ definida (existe) en todos los valores cercanos a un valor ‘a’, con la excepción de este mismo”.

De esta manera, es posible pensar que la curva se “corta” en ese valor específico; aunque en el razonamiento lógico indica que la curva se interrumpe, aquí el concepto matemático de límite viene a dar claridad suficiente a la situación y compensa la falta de experiencia práctica dentro del campo de lo muy pequeño o lo muy grande a través de la formalidad que la disciplina matemática provee y a partir del siguiente enunciado: “Si la diferencia entre ‘f(x)’ y ‘L’ puede hacerse tan pequeña como se desee…”. Por ende, es posible decir que la función f(x) continúa (es decir, es continua) para el punto “a” si se cumplen las tres condiciones siguientes:





La aplicación del concepto se ilustra a continuación.

Ejemplo 8. Considerar la siguiente ecuación y determinar si su curva asociada es continua cuando “x” tiende a -4:





Aquí es posible aplicar el método de simplificación algebraica revisado anteriormente; por ello, la ecuación (8.1) se puede simplificar de la siguiente forma:




La gráfica de lo anterior se muestra a continuación:




Gráfica de la ecuación simplificada para la evaluación del límite, paso 2 del análisis de continuidad



Se observa que la ecuación es equivalente a la de una recta con pendiente “m = 1”, y ordenada al origen igual a -4, lo que evidentemente aparenta ser una función continua; sin embargo, al seguir con el análisis de continuidad y evaluar el límite cuando “x” tiende al valor -4 (8.2), se tiene lo siguiente:





Ahora evaluando la función (8.1) para el mismo valor, x = -4:





Esto muestra que la función no existe para el punto “x = -4”; por ello, al no cumplirse la propiedad del paso 1, la función no es continua. Se muestra la gráfica real de acuerdo con el análisis de continuidad:


Situación real de la ecuación (8.1), que muestra un punto de discontinuidad en “x=-4”, que se desprende del análisis completo de continuidad



Conclusión


El estudio del concepto de límite permitirá responder a problemas centrales del cálculo diferencial para desarrollar importantes propiedades que abrirán una vía para finalmente llegar a la derivación e integración de funciones, herramientas fundamentales para el análisis de una gran variedad de problemas actuales.



Actividad. Caracterización de una curva mediante la evaluación de sus límites

En esta actividad se muestra que, a través del concepto de límite, es posible obtener un mejor trazo para una curva que presenta puntos indeterminados, así como su comportamiento cuando la variable independiente crece o decrece indefinidamente.

Autoevaluación. Límite, marco teórico y evaluación

El concepto de límite proporciona los elementos necesarios para evaluar un problema cuyas variables toman valores que hacen quedar indeterminada a una expresión matemática. En esta actividad, aprenderás a identificar este tipo de entornos y conocer metodologías que te permitirán resolver correctamente esas situaciones.

Fuentes de información

Básicas

Sitios electrónicos

Historia de las matemáticas. (s. f.). Sección: El Descubrimiento del Cálculo. Consultado el 6 de noviembre de 2017 de https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem

Complementarias

Bibliografía

Ayres, F. (1980).Cálculo Diferencial e Integral. México: McGraw-Hill

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Cómo citar

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