Análisis Combinatorio

Unidad de Apoyo para el Aprendizaje

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Introducción


Desde hace miles de años el hombre realiza juegos de azar, por lo que la necesidad de plantear soluciones a los problemas que se presentan en éstos no es nueva. Con el paso del tiempo se han enunciado principios aplicables al problema de obtener la máxima probabilidad de éxito de una estrategia aplicada. Como veremos, en muchos casos se ha observado que el problema radica en contar cuántas formas pueden ocurrir en cierta situación.

Seis dados con diferentes números en cada cara

Wilhei. (2005). Azar [fotografía]. Tomada de https://pixabay.com/es/cubo-seis-juegos-de-azar-jugar-689619/


Establecer procedimientos eficientes y eficaces de conteo es la esencia del análisis combinatorio.


En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece de forma repetitiva; por lo cual es necesario conocer las opciones en que se puede realizar dicho cómputo. Para tales casos es útil tener presentes determinadas técnicas o estrategias de conteo que faciliten el cálculo señalado.


El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.

El estudio de este tema te permitirá:

Aplicar el análisis combinatorio a través de las fórmulas generales de ordenaciones, combinaciones y permutaciones para la resolución de problemas estadísticos.

Ordenaciones


Se les conoce también como permutaciones sin repetición. El número de ordenaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden:


Como ves, las ordenaciones de n objetos corresponden al factorial de n.


Ejemplo

Problema


Tres miembros de una organización se han ofrecido para fungir, de forma voluntaria, como presidente, tesorero y secretario. Obtener el número de formas en que los tres podrían asumir los puestos.

Solución



Desde luego, de acuerdo con lo que hemos visto, esto también se puede representar mediante un diagrama, asignándoles una letra a las tres personas: A, B y C.

Diagrama


De forma gráfica se puede apreciar, a través de un diagrama de árbol, el número de combinaciones que se puede formar al nombrar los puestos de presidente, tesorero y secretario. Es importante notar que en este caso el orden importa, ya que dos personas no pueden tener dos puestos.


Diagrama de árbol en el que se explica cómo se realizaría la designación de presidente, tesorero y secretario.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo

Problema


En una determinada sección de un estante de libros se encuentran cuatro libros. Determinar el número de formas en que se pueden arreglar ordenadamente.

Solución



Se pueden obtener 24 arreglos de los libros sin repetición.


Permutaciones


Una permutación de un número de objetos es cualquiera de los diferentes arreglos de esos objetos en un orden definido. El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r viene dado por la siguiente expresión:


Ejemplo: Gerentes y plantas

Problema


Una empresa desea colocar tres nuevos gerentes en tres de sus 10 plantas. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerlo?

Solución


Sabemos que la fórmula por aplicar es la anterior, por lo cual se deben sustituir los datos correspondientes.

Sustitución


Sustituyendo los datos tenemos que:


Resultado


Por lo tanto, existen 720 formas diferentes de colocar a estos tres gerentes, en tres de las 10 plantas que posee la empresa.


Ejemplo: Elecciones en un club

Problema


Considerando que un club cuenta con 25 miembros, de entre los cuales se elegirá a un presidente y un secretario, determine el número total de formas posibles en que se pueden ocupar estos dos cargos.

Solución


Puesto que los cargos pueden ser ocupados eligiendo uno de los 25 miembros como presidente y después uno de los 24 miembros restantes como secretario, el número total posible de elecciones es:



O bien, podemos encontrar el resultado utilizando la fórmula:


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Sustitución


De donde al sustituir los datos tenemos:



Y al aplicar la definición de factorial:


Resultado


Finalmente, el resultado se reduce a:



Así, el resultado final indica que existen 600 formas diferentes de poder elegir estos cargos de presidente y secretario en el club.


Combinaciones


Una combinación de objetos es cualquier selección de ellos en la que no importa el orden. El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r viene dado por la fórmula general siguiente:


Ejemplo: Inspecciones

Problema


Al auditar las 87 cuentas por pagar de una compañía, se inspecciona una muestra de 10 cuentas. ¿Cuántas muestras posibles hay? Suponiendo que 13 de las cuentas contienen un error, ¿cuántas muestras contienen exactamente dos cuentas incorrectas?

Solución


No hay necesidad de considerar el orden en el que las 10 cuentas se seleccionan, pues todas serán inspeccionadas. Por consiguiente, se trata de un problema de combinaciones.

Sustitución


Por lo tanto, al aplicar la fórmula correspondiente tenemos que hay:



Resultado


Variante: Cuentas incorrectas


Si se desea realizar una variedad del ejercicio anterior, se debe considerar que se van a multiplicar probabilidades debido a que se tienen dos muestras diferentes: la primera está conformada por 13 cuentas incorrectas, de las cuales se desean obtener solamente dos; por ello, la expresión que la representa es 13 C 2. La segunda muestra está conformada por 74 cuentas incorrectas, de las cuales solamente debemos tomar ocho; por lo que la representación es 78C8 . Así pues, la fórmula que representa ambas muestras es:


Ejemplo: Comités

Problema


Si un club tiene 20 miembros, ¿cuántos comités diferentes de cuatro miembros son posibles?

Solución


El orden no es importante porque no interesa cómo estén acomodados los miembros del comité. Así, sólo tenemos que calcular el número de combinaciones de 20 miembros, tomados de cuatro en cuatro.

Sustitución


Si sustituimos los valores en la fórmula que ya conocemos, se tiene:








Resultado


Existen, entonces, 4845 formas diferentes de conformar el comité.


Los principios y las reglas de conteo, como se ha observado en el desarrollo de este tema, constituyen un conocimiento de mecanismos de agrupación de datos y sus relaciones entre sí.


El enfoque clásico del cálculo de probabilidades de ocurrencia de determinados eventos establece que el valor de probabilidad se determina en función de la cantidad de resultados igualmente probables y que sean favorables, así como del número total de resultados posibles. Cuando los problemas son sencillos, el número de resultados puede contarse directamente; sin embargo, para problemas o situaciones más complejas se requieren las herramientas del análisis combinatorio.

Actividad. Sobre el azar, viajes y juegos

Una vez que ya hemos revisado las herramientas del análisis combinatorio, es necesario que ejercites tu habilidad para aplicar las fórmulas que se utilizan al realizar una ordenación, una permutación y una combinación. Recuerda que los métodos estadísticos se ocupan en todos los campos del conocimiento.


Recuerda que si tienes dudas sobre el concepto de análisis o las fórmulas puedes revisar nuevamente el contenido del tema.

Autoevaluación. Momento de analizar la vida

Una vez que ya has analizado con detalle cada una de las fórmulas del análisis combinatorio, es tiempo de que te enfrentes a nuevos desafíos; por lo que te invito a que apliques tu capacidad de análisis y resuelvas algunos pequeños problemas de la vida real.

Recuerda que si tienes dudas sobre el concepto de análisis o las fórmulas, puedes revisar nuevamente el contenido del tema.


Fuentes de información

Básicas

Documentos electrónicos

Camargo, A., García, J., Minjares, M., Rodríguez, A., Serrano, R. (2010). Análisis Combinatorio. En Estadística I. Licenciatura en Contaduría [CD-ROM] (pp. 93-96, 135-143, 165-170). México: Universidad Nacional Autónoma de México.


Complementarias

Bibliografía

Anderson, D., Sweeney, D. y Williams, T. (2005). Estadística para administración y economía (8.ª ed.). México: International Thomson Editores.

Lind, D., Marchal, William, G. y Wathen, S. (2008). Estadística aplicada a los negocios y la economía (13.ª ed.). México: McGraw-Hill Interamericana.

Webster, A. (2002).Estadística aplicada a los negocios y la economía (2.ª ed.). México: McGraw-Hill Interamericana.